Jeans Modeling with the Multi Gaussian Expansion Method
By Michele Cappellari, Padova, 4 March 1999
Si è utilizzato il metodo del Multi Gaussian Expansion (MGE)
per risolvere le equazioni di Jeans nel caso assisimmetrico con funzione
di distribuzione f=f(E,Lz). Questo algoritmo risolve con un metodo di calcolo
differente lo stesso problema risolto ad esempio da quello di Binney (1990,
ApJ, 361, 78).
Il metodo MGE è stato implementato alla maniera utilizzata anche
in Cretton & van den Bosch 1998 (astro-ph/9805324). Dettagli del metodo
si trovano in Monnet et al. (1992, A&A, 253, 366) e in Emsellem et
al. (1994, A&A, 285, 723).
Per la verifica del modello si è applicato il metodo MGE a partire
dalla brillanza superficiale prodotta da un Generalized Plummer Model (con
n=Infinity). Per questa distribuzione di brillanza esistono infatti delle
soluzioni analitiche nel piano meridionale della galassia che sono state
ricavate da Satoh (1980, PASJ, 32, 41).
Generalized Plummer Model b/a=1
Photometric Modeling
La surface brightness di un generalized plummer model di Satoh (1980) è
stata approssimata con sole 5 gaussiane. Il risultato del fit è
messo a confronto con le curve di livello della distribuzione originaria
nella figura seguente (in magnitudini) [si confronti con Fig. 4a di Satoh].
E' mostrato anche un profilo lungo i due assi. L'approssimazione MGE è
visualizzata in rosso. In nero è mostrato invece il profilo esatto.
Jeans Modeling
Dopo la deproiezione (si è assunto che la galassia fosse edge-on
[i=90°]) e la soluzione delle equazioni di Jeans col metodo MGE (in
questo caso si è imposto M/L=costante, e isotropia k=1) si sono
calcolati i momenti nel piano meridionale della galassia.
Nella figura seguente è mostrata la variazione spaziale del
first non-centered moment (mean rotational velocity) nel piano meridionale
(R,z) [cfr. Fig. 7b di Satoh]. Come ci si poteva aspettare i valori risultano
attendibili solamente all'interno di una circonferenza di raggio pari a
metà della dimensione dell'immagine che si è utilizzata per
eseguire il modeling della fotometria. E' mostrato di seguito anche il
profilo di velocità nel piano equatoriale (z=0): il profilo calcolato
con MGE è visualizzato in rosso, il risultato analitico di Satoh
(1980) in nero [cfr. Fig. 5b di Satoh]. La scala
spaziale è in unità "a" (vedere i modelli di Satoh). L'unità
di misura delle velocità è invece Sqrt(G*M/a).
Line of sight projection
Per finire si è integrato lungo la linea di vista lungo l'asse maggiore
della galassia. Il profilo di velocità MGE è mostrato in
rosso, il valore semianalitico di Satoh in nero (per confronto col profilo
teorico non si è tenuto conto del seeing).
Generalized Plummer Model b/a=10
Esattamente lo stesso procedimento è stato applicato di seguito
ad un modello con b/a=10
Photometric Modeling
Jeans Modeling
Line of sight projection
NGC 4342 with HST
Come ulteriore verifica si è calcolato il profilo di rotazione di
NGC 4342 (senza buco nero centrale e senza effetti di seeing) a partire
dall'approssimazione MGE pubblicata in Table 1 di Cretton & van den
Bosh (1998) e da loro ottenuta in base ad osservazioni fotometriche HST.
Si noti la perfetta corrispondenza tra questo profilo e quello di Fig.
3 di CvdB98, per raggi maggiori di ~1.3 arcsec, dove l'effetto del seeing
diviene trascurabile. Il picco di velocita' a ~0.5 arcsec, prodotto dal
dischetto di stelle circumnucleare sparisce completamente alla risoluzione
dello spettro WHT, mentre è visibile, sebbene smussato nello spettro
FOS.
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